LIE (S.)


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À la fin du XIXe siècle, le mathématicien norvégien Marius Sophus Lie a posé les fondements d’une des théories les plus centrales des mathématiques contemporaines, la théorie des groupes de Lie, dont la puissance s’est révélée considérable, et qui est au cœur d’innombrables recherches contemporaines. En physique relativiste, cette théorie est un outil qui intervient constamment et, en mathématiques pures, elle a été et reste un sujet privilégié, carrefour toujours vivant de l’analyse, de l’algèbre et de la géométrie.

L’œuvre de Lie

La vocation mathématique de Sophus Lie, né à Nordfjordeid en 1842, ne se révéla qu’assez tard, à la lecture en 1865 des travaux de Julius Plücker sur les complexes de droites. Sa rencontre à Berlin avec le jeune Félix Klein (1849-1925), en 1869, allait être le début d’une longue et fructueuse amitié. Les deux mathématiciens viennent à Paris et découvrent les travaux de Galois et de Jordan qui allaient profondément les influencer; ils travaillent ensemble sur la théorie des invariants en analyse et en géométrie différentielle, et c’est de cette époque, d’après son propre témoignage, que datent les premières idées de Lie sur les groupes de transformations. Dans un mémoire de 1870, écrit en commun, Lie et Klein étudient systématiquement les sous-groupes à un paramètre du groupe projectif du plan et les orbites de ces sous-groupes, les «courbes W» et retrouvent ainsi, dans le cadre de la théorie des groupes, de nombreuses propriétés des courbes classiques (y = cx m , spirale logarithmique, etc.).

À la déclaration de guerre entre la France et la Prusse, Klein repart en Allemagne tandis que Lie part (à pied!) pour l’Italie. Arrêté par erreur comme espion allemand, il restera une semaine en prison à Fontainebleau jusqu’à l’intervention du mathématicien Gaston Darboux qui dissipera cette méprise.

En 1872, Lie soutient sa thèse de doctorat à l’université de Christiania; c’est à cette époque qu’il édifie sa théorie des transformations de contact qui généralisent à la fois les transformations géométriques ponctuelles et la transformation par polaires réciproques. Il restera professeur à Christiania jusqu’en 1886. Dès 1873, il commence à élaborer la «grande» théorie des groupes de Lie.

De 1886 à 1898, Lie occupe la chaire de Klein à Leipzig, et c’est alors qu’il rédige, en collaboration avec Ernst Engel, les théorèmes fondamentaux de sa théorie; nommé professeur extraordinaire à Christiania, il y meurt en 1899 quelques mois après son retour.

Avant d’aborder les résultats de la théorie des groupes «continus» qui constituent la partie centrale de l’œuvre de Lie, disons un mot de son application au «problème de l’espace» qui a eu une grande importance historique [cf. GÉOMÉTRIE] et valut à son auteur, en 1898, le prix Lobatchevski décerné par l’université de Kazan à des recherches sur la géométrie, de préférence non euclidienne. Dans sa Dissertation inaugurale , Bernhard Riemann avait abordé ce problème analytiquement, de manière abstraite, en introduisant les notions de «multiplicité numérique» et de métrique, qui allaient conduire ultérieurement à toute la théorie des variétés riemanniennes; pour sa part, Hermann von Helmholtz avait analysé le concept de géométrie en termes de «groupes de mouvement». Sophus Lie donne, dans le cadre de la théorie des groupes, des propriétés caractéristiques permettant de définir «une» géométrie sur une multiplicité numérique et montre que, pour n 閭 3, ces propriétés s’expriment uniquement par des conditions infinitésimales. Henri Poincaré, qui a repris ce problème, analyse en ces termes l’œuvre de Lie: «Il a cherché de quelle manière peuvent se combiner les divers mouvements possibles d’un système quelconque, ou plus généralement les diverses transformations possibles d’une figure. Si l’on envisage un certain nombre de transformations et qu’on les combine ensuite de toutes les manières possibles, l’ensemble de toutes ces combinaisons formera ce qu’il appelle un groupe. À chaque groupe correspond une géométrie, et la nôtre, qui correspond au groupe des déplacements d’un corps solide, n’est qu’un cas très particulier. Mais tous les groupes que l’on peut imaginer posséderont certaines propriétés communes, et ce sont précisément ces propriétés communes qui limitent le caprice des inventeurs des géométries; ce sont elles, d’ailleurs, que Lie a étudiées toute sa vie.»

La théorie des groupes de Lie

Sous le nom de «groupes finis et continus», Lie étudie des groupes de transformations analytiques sur l’espace Cn des n variables complexes x 1, ..., x n ,

dépendant «effectivement» de r paramètres complexes a 1, ..., a r . Par la suite, il étudiera aussi, sous le nom de groupes infinis et continus, certains ensembles de transformations dépendant d’une infinité de paramètres (qui, en fait, ne sont pas des groupes). L’étude de Lie repose essentiellement sur la linéarisation qui introduit ce qu’on appelle l’algèbre de Lie du groupe. Si l’on obtient la transformation identique de l’espace Cn pour un choix a 01, ..., a 0r , la formule de Taylor au premier ordre:

introduit la transformation infiniment petite :

k = 1par intégration du système différentiel:

on obtient alors le groupe à un paramètre:

que Lie montre être un sous-groupe du groupe initial.

La méthode infinitésimale de Lie consiste en l’étude des opérateurs différentiels linéaires:

qu’il appelle transformations infinitésimales et dont l’ensemble forme, pour le crochet, l’algèbre de Lie du groupe; un habile usage de la formule de Taylor au second ordre lui permet d’obtenir l’expression fondamentale donnant le crochet de deux telles transformations infinitésimales (cf. GROUPES - Groupes de Lie). Tout ce qui précède fait le lien entre la théorie des groupes continus ainsi obtenue et les transformations de contact et la théorie des équations aux dérivées partielles.

À partir de 1874, Lie développe systématiquement la méthode infinitésimale et élabore un véritable «dictionnaire» de correspondances entre les propriétés du groupe et les propriétés de l’algèbre de Lie; il dégage clairement le caractère local de l’algèbre de Lie dont la donnée permet seulement, en général, d’obtenir un «morceau» de groupe de transformation et établit ainsi les résultats du tableau de correspondances donné dans l’article GROUPES - Groupes de Lie, chap. 5.

Selon Nicolas Bourbaki, voici les trois principaux théorèmes obtenus par Lie.

Le premier théorème affirme que, sous l’hypothèse que les paramètres sont «effectifs», les fonctions f i de (1) vérifient une équation aux dérivées partielles:

où la matrice ( 﨡ki ) est de rang maximal et det ( 切ij ) 0. Réciproquement, si les fonctions f i ont cette propriété, les formules (1) définissent un morceau de groupe de transformations. Le deuxième et le troisième théorème établissent les relations algébriques entre les 﨡ki , d’une part, et les 切ij , d’autre part; réciproquement, si l’on se donne r transformations infinitésimales linéairement indépendantes X1, X2, ..., Xr dans l’algèbre de Lie, avec:

où les c k ij satisfont aux relations algébriques:

les sous-groupes à un paramètre engendrés par ces transformations engendrent un groupe de transformations dont l’algèbre de Lie est engendrée par X1, ..., Xn .

Encyclopédie Universelle. 2012.

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  • lie — 1. (lie) s. f. 1°   Ce qu il y a de plus grossier dans une liqueur et qui va au fond. •   Avant qu aller si vite, au moins je le supplie Savoir que le bon vin ne peut être sans lie, RÉGNIER Sat. XII. •   La coupe où nous buvons a toujours une lie …   Dictionnaire de la Langue Française d'Émile Littré

  • Lie — Lie, v. i. [imp. {Lay} (l[=a]); p. p. {Lain} (l[=a]n), ({Lien} (l[imac] [e^]n), Obs.); p. pr. & vb. n. {Lying}.] [OE. lien, liggen, AS. licgan; akin to D. liggen, OHG. ligen, licken, G. liegen, Icel. liggja, Sw. ligga, Dan. ligge, Goth. ligan,… …   The Collaborative International Dictionary of English

  • lie — lie1 [lī] vi. lay, lain, lying [ME lien < 2d & 3d pers. sing. of earlier liggen < OE licgan, to lie, akin to Ger liegen < IE base * legh , to lie, lay oneself down > L lectus & Gr lēchos, bed, lōchos, lair] 1. to be or put oneself in… …   English World dictionary

  • lie# — lie vb Lie, prevaricate, equivocate, palter, fib mean to tell an untruth directly or indirectly. Lie is the straightforward word, flatly imputing dishonesty to the speaker {he lies, and he knows he lies Johnson} {the article . . . has… …   New Dictionary of Synonyms

  • lie — Ⅰ. lie [1] ► VERB (lying; past lay; past part. lain) 1) be in or assume a horizontal or resting position on a supporting surface. 2) be or remain in a specified state. 3) reside or be found. 4) …   English terms dictionary

  • Lie — (l[imac]), n. [AS. lyge; akin to D. leugen, OHG. lugi, G. l[ u]ge, lug, Icel. lygi, Dan. & Sw. l[ o]gn, Goth. liugn. See {Lie} to utter a falsehood.] 1. A falsehood uttered or acted for the purpose of deception; an intentional violation of truth; …   The Collaborative International Dictionary of English

  • Lie to Me — Logo original de la série Titre original Lie to Me Autres titres francophones Lie to Me : Crimes et Mensonges (Québec) Genre Série d …   Wikipédia en Français


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